1. Fundamentals of Sound

소리는  공기내 웨이브의 움직임 또는 매체의 탄성 작용으로 볼 수 있는데 이러한 경우 소리는 자극제 역할을 하는것이라 한다.  또한 청각 기능 의 자극을 통해 나타나는 웨이브의 작용 결과가 우리 뇌를 통해 소리로 인식되게 되는데 이러한 경우 소리를 감각적 역할을 하는 것이라고 한다.

만일 우리가 스피커에 의하여 만들어진 공기중의 소리의  작용에 대한 관심을 갖게 된다면 그것은 물리적 특성과 관계되는 것이며, 스피커 주변의 사람에게 어떻게 소리가 전해지는가에 대하여 관심을 갖는다면 음향 심리학적 방법이 필히 사용되어야 한다.  이글 에서는 사람과 관계된 어쿠스틱을 중점하여 다루고 있음으로 소리에 대하여 앞서 언급한 두가지 측면에 대한 것이 모두 다루어질 것이다.

소리는 몇몇의 기본적 현상에 의하여 구분이 된다.  예를 들자면, 주파수 (Frequency) 라는 것은 소리에 대한 객관적 측면의 것으로 초당 몇개의 웨이브들이 만들어 지는가 로 나타내어지고 오실로스코프와  주파수 카운터를 통하여 측정되고 읽혀지게 된다.  이와 달리 소리의 높고 낮음에 대한 피치(pitch)는 소리에 대한 주관적 측면의 것으로 개념적으로 우리의 귀는 소프트하거나 라우드한 특성을 내보이는 100Hz 톤에 대하여 그들을 각각 다른 피치로 인식 하게 된다는 것이다.

소리의 세기 (intensity)가 증가 됨에 따라 저 주파수(low frequency) 톤은  낮아지고 고 주파수(high frequency) 톤은 올라가게 된다. 플레처 (Fletcher)는 168Hz와 318Hz의 퓨어톤(pure tone)을 보통의 듣기 좋은 레벨로 플레이를 하여도 이들 소리가 매우 부 조화 스러운 소리로 들리게 되나 옥타브 관계를 내보이는 150Hz와 300Hz 톤은 강한 레벨로 플레이를 하여도 우리의 귀가 그들을 듣기 좋은 소리로 듣는다는 것을 발견하였다. 이렇듯 주파수와 피치를 동일시 할 수는 없으나 그들이 서로 유사한 특성을 내보인다고 이야기 하고있다.

이와 같은 소리의 이중적인 특성은 인텐시티 (Intensity)와 라우드네스 (Loudness)에서도 나타나고있다. 이들 두가지의 관계 또한 명확히 구분되지 않으며 웨이브의 형태 (waveform)또는 스펙트럼(speactrum) 그리고 소리의 질적인 인식 (팀버 : Timber) 또한 청각 기능상의 혼동을 야기하는 것이다.  컴플랙스 웨이브폼 (Complex Waveform)은 기초음 ( Fundamental)과 함께 다양한 세기와 페이즈 특성을 지니는 여러 개의 하모닉스로 구성이 되어있다. 팀버 (Timber)에 대한 인식은  주파수와 피치의 상호 작용과 다른 여러 요소에 의하여 복잡하게 나타난다. 이와 같은 소리의 물리적 작용과 그에 대한 인식은 우리에게 매우 미세하고 복잡한 문제로 나타나고있다. 스피커 또는 콘서트 홀을 디자인 하는 것은 비교적 직설적이며 객관적인 기술과정이라 할수있다.  우리가 고려해 봐야 하는것은 스피커는 무 향실의 마이크로폰을 위한 사인웨이브(sinewave)를 재생하기 위하여 디자인된 것이 아닌 우리의거실에서 음악을 플레이하도록 디자인된 것 이라는 것이다. 즉 오디오에 대한 연구와 어쿠스틱은 예술적인 측면과 과학적인 측면 이 두가지 모두를 내포하는 것이다.

The Sine Wave 

­­­

아래 그림 1-1 은 하나의 진동체로서 스프링에 달려있는 무게 추에 관한 것이다.  만일 무게 추를 -5지점까지 잡아 당긴 뒤 놓게 되면 스프링은 무게 추를 그 원점인 0지점으로 되돌리게 된다. 그럼에도 불구하고 무게 추의 관성은 0지점에서 멈추지 않고 0지점 넘어 거의 +5지점에 까지 그 움직임을 일으키게 된다. 무게 추는 계속하여 움직임을 내보이게 되나 공기와 스프링의 마찰력에 의하여 그 세기가 서서히 줄어들게 된다. 이러한 작용이 가능한 것은 스프링이 지니는 탄성과 무게 추의 관성 때문이며 소리의 전달을 위한 매체 또한  필히 이와 같은 관성과 탄성을 지녀야한다.

그림 1-1에서와 같은 무게 추의 움직임을 단순 하모닉 움직임 (Simple Harmonic Motion)이라고 한다. 크랭크 샤프트에 연결된 자동차 엔진 내의 피스톤의 경우와 같이 빙글빙글 도는 크랭크 샤프트와 위 아래로 움직이는 피스톤의 작용을 로터리 모션 (Rotary Motion) 과 직선의 하모닉 모션 관계로 나타낼 수 있으며 시간에 따르는 피스톤의 위치를 정의하여 사인 웨이브로 나타낼 수 있다. 이들은 가장 기본이 되는 기계적 움직임 작용으로 소리와 전자장치내 기본적인 웨이브 형태 또한 그와  동일하다고 이야기 한다.

<그림1-1> 스프링에 연결된 무게 추는 고유 주파수(natural frequency)에 대해 진동을 내보이는데 스프링이 지니는 탄성과 무게추가 지니는 관성 때문이다.

만일 볼펜을 그림 1-2와 같이 무게 추에 부착하고 종이가 일정한 속도로 그 아래를 지나도록 하면. 부착된 펜은 추의 움직임에 따라 그 반응을 종이에 나타내게 되는데 펜은 종이에 아래 그림과 같은 사인 웨이브를 그리게 된다. 이 사인 웨이브는 순수한 웨이브 형태로 추의 단순 하모닉 움직임과 동일하게 나타나는 것이다.

<그림1-2> 진동움직임을 내보이는 추에 고정된 펜은 종이가 일정한 속도로 이동할 때 그에 따른 반응으로 하나의 사인웨이브를 그리게 된다. 이것은 간단한 하모닉스 움직임과 사인웨이브의 기본적인 관계를 내보이는 것이다. .

SOUND IN MEDIA

만일 공기 입자 (air particles) 가 그 본래의 위치에서 벋어 나게 되면 공기의 탄성력(elastic forces)은 공기 입자를 본래의 위치로 되돌리게 되는데 그것은 그들 입자들의 관성(inertia) 작용에 의한 것이다.  소리는 가스, 액체, 공기, 물, 쇠와 콘크리트를 통해 전도 되는 것이 가능하며 이들은 모두 탄성을 지니는 매체들이다. 예를 들어 저 멀리 기차역에 있는 친구가 철로를 돌로 쳐서 소리를 낸다고 할 때. 공기를 통한 전달 보다 기차 철로를 통해 소리가 먼저 전달되게 되는데 그 이유는 쇠인 철로의 밀도가 공기보다 높아 소리의 전이가 더 빠르게 나타나기 때문이다. 마찬가지로 바다를 향해 한참을 향해 한 뒤에야 배로 소리가 뒤늦게 전달 되는 것 또한 밀도 차이에 의한 소리의 전이 특성때문이다.

들판을 가로지르는 바람에 의하여 들판에 웨이브가 만들어지게 된다, 바람에 의해 웨이브가 진행하더라도 들판에 있는 곡식들의 줄기는 여전히 그들 뿌리에 고정되어 있는 것을 볼 수 있다.  이와 같이 사운드 웨이브에 의한 공기 입자 또한 그들 위치에서 크게 벋어나지 않는다.

<그림1-3>사운드 에너지가 전달되는 것과 동일한 거리만큼 공기 입자는 움직임을 내보이게 되는데 공기가 지니는 탄성과 그 입자들의 관성 작용에 의하여 일어난다.

그림 1-3 에서와 같이 공기 입자의 이탈이 일어난다 할지라도 그들은 주어진 지역 내에 한하여 그 움직임을 내보이게 된다.  흥미로운것은 그들 입자들의 이동 속도 (velocity)가 평형 점 에서 가장 최고로 되고 최대 이탈 지점에서 제로 상태로 된다는 것이다.  최대 벨로시티 (velocity) 상태를 벨로시티 앰프리튜드 (Velocity Amplitude) 라고 하고 입자가 최대로 벋어난 지점의 속도를 디스플레이스먼트 벨로시티 (Displacement velocity) 라고 한다. 이들 입자들의 최대 밸로시티는 매우 작아 매우 강한 소리에서도 그 움직임이 0.5in/sec정도에 불과한 것으로 된다.

입자들의 움직임은 3가지 형태로 구분이 된다. 잔잔한 호수에 돌을 던지면 아래 그림과 같이 돌이 던져진 지점으로부터 둥근 원의 형태를 그리는 웨이브가 바깥쪽으로 진행되게 된다 (그림1-4 A). 다른 형태로는 바이올린의 현과 같이 현을 따라 진행되는 웨이브의 방향과 직각으로 현이 위,아래로 움직임을 내보이게 된다 (그림 1-4B). 마지막으로 공기와 같은 가스에서 소리는 소리가 진행하는 방향과 동일한 방향으로 공기 입자들을 움직이게 되는데 이것을 우리는 longitudinal wave 라 한다 (그림1-4 C).

<그림1-4> 사운드 발산으로 인한 입자들의 움직임은 Circular motion (A), transverse motion (B), longitudinal motion (C) 3가지로 나타난다.

그렇다면 이들 입자들이 어떻게 앞 편과 뒤 편으로 움직이며 스피커로부터 음악을 우리의 귀에 전달하는가 이다. 아래그림 1-5는 각각 다른 밀도를 내보이는 공기 분자 (molecules) 들을 나타낸 것이다. 공기분자들이 조밀하게 자리하는 지역을 컴프레션 (compression)지역 이라고 하며 이 지역의 공기압은  대기의 압력보다 약간 높게 된다. 그와 반대로 공기분자들의 밀도가 낮게 나타나는 지역을 레어팩션 (rarefaction)이라고 하며 이 지역의 공기압은 대기 압력보다 낮게 나타난다.

아래그림1-5에서 화살표가 가리키는 것은 공기 분자 (molecules) 들이 오른편 컴프레션 지역으로 이동을 한 뒤 두개의 컴프레션 지역 사이의 레어팩션 지점으로부터 왼편으로 이동하는 그 경로를 가리키는 것이다. 분자들은 탄성을 지님으로 그들 지점에서 이탈되고 난 뒤 다시 본래의 지점으로 되돌아 가려는 성질을 지니고있다. 이러한 특성으로 인하여 이들은 우측으로 이탈 한 뒤 이탈 거리와 동일한 거리만큼 좌측으로 이동하여 본래 위치로 돌아오게 되고 사운드 웨이브는 그에 따라 균일하게 우측으로 진행하게 된다. 소리가 존재하게 되는 이유는 그들 탄성을 하나의 입자에서 다른 입자로 이동을 시키기 때문이다.

<그림1-5>  C = Compression (압력이 높은 지역), R = Rarefaction (압력이 낮은 지역), 사운드 웨이브는 우측 방향으로 진행한다

위의 예에서 사운드 웨이브가 우측으로 진행하는 이유는 화살표가 서로 마주하게 되는 지역은 분자들의 밀도가 증가하고 화살표가 서로 반대되는 지역에서는 분자들의 밀도가 낮은 현상으로 인하여 압력이 높은 쪽으로부터 낮아지는 쪽으로 분자들이 이동함으로 인하여 사운드 웨이브가 우측으로 진행하게 되는 것이다.
분자들의 밀도가 높은 지역은 주변 환경보다 밀도가 높고 분자들의 밀도가 낮은 지역은 주변 환경보다 밀도가 낮게 된다는 것을 앞서 이야기 하였으며 그것은 아래그림 1-6과 같은 사인웨이브로 나타내는 것이 가능하게 된다.  이들의 압력 변화는 주변 대기 압력보다 500만 배 적은 것으로 사람이 들을 수 있는 가장 적은 소리인 20Pa (micro pascal) 로 된다.

<그림 1-6> (A)는 공기중의 사운드 웨이브가 내보이는 컴프레션 지역과 레어팩션 지역을 나타낸 것이다. (B)는 컴프레션과 레어팩션 반응을 사인웨이브를 사용하여 나타낸 것이다.

 

Speed of Sound

일반적인 온도와 압력을 내보이는 공기에서 소리는 초당 약 1,130ft/sec 또는 344m/sec 의 속도로 진행이 된다. 이것을 다르게 이야기하면 시간당 770마일 또는 1,240킬로미터의 속도로 소리가 진행 한다는 것이다. 그러나 이와 같은 소리의 속도는  다른 것들에 비하면 상대적으로 빠르지 않은 것이다. 예를 들자면, 보잉 787제트기의 경우 시간당 561마일 (마하 0.85)의 속도를 내보이며 빛의 속도는 시간당 670,616,629마일로 소리에 비하여 엄청난 속도 차이를 내보이고있다. 또한 소리의 속도는 소리의 세기와 주파수 특성 및 주변 압력 차이에 의한 속도 차이를 내보이지는 않는다.

소리는 특정 속도로 진행을 하게 되는데 그것은 매체의 특성과 관련된 요소들에 의하여 결정이 된다. 분자들의 구조가 높은 밀도를 내보이는 경우 소리 에너지 전달이 보다 쉽게 이루어진다. 공기와 비교하여 더 높은 밀도를 내보이는 액체와 단단한 물질에서 소리는 더욱더 빠르게 진행하게 된다. 예를들자면  신선한 물속에서는 초당 약 4900피트의 속도를 내보이고 쇠를 통해서는 초당 16,700피트의 속도를 내보인다. 공기중에서 소리의 속도는 화씨1도의 변화가 일어날때마다 초당 약1.1ft/sec의 속도가 증가 되는 것으로 나타난다. 공기중의 습도 또한 소리의 속도와 관계하는데 습도가 높을수록 소리의 속도가 보다 빠르게 진행된다. 소리의 벨로시티 (Velocity of Sound)  란 매체를 가로질러 사운드 에너지가 얼마나 빠르게 전달 되는가를 나타내는 것이며  입자 벨로시티 (Particle Velocity)는 소리의 라우드네스 (loudness) 특성에 의하여 결정이 된다.

Wavelength and Frequency

아래 그림은 사인웨이브 (sine wave)를 나타낸 것이다. 웨이브의 길이 (wavelength) 란 사인 웨이브가  하나의 완벽한 원 (cycle)을 만들어 내는 거리를 가리킨다. 사인 웨이브의 길이는 사인 웨이브의 피크 지점 사이의 거리를 측정 하는 것으로 얻게 된다.

주파수(frequency : f)는 초당 만들어지는 사이클의 숫자이다. 즉 초당 몇개의 싸이클이 만들어지는가 하는 그 수가  주파수를 나타내며 단위는 헐츠(hertz ,  Hz)를 사용한다. 예로, 초당 20개의 싸이클을 만들어 내는 소리의 주파수는 20헐츠 (20Hz) 가 된다.

<그림 1-7> 웨이브의 길이는 웨이브가 하나의 완벽한 원(싸이클)을 만드는데 까지 필요로 되는 거리를 이야기한다. 이들은 사인웨이브의 피크와 피크 지점 간의 거리와 동일한 것이다.

사인 웨이브의 웨이브 길이는 다음과 같은 관계를 지닌다.

웨이브의 길이(ft)  =

위의 공식은 다음과 같이 될 수 있다.

주파수 =

Complex Waves

사람의 말소리 (스피치: speech)와 음악의 웨이브 형태는 단순한 사인웨이브와 달리 매우 복잡한 웨이브 형태를 지니는 것으로 이와 같은 특성을 컴플렉스 웨이브폼 (Complex Waveforms)라 한다. 그러나 그들이 어떠한 복잡한 특성을 지니는 가와 상관없이 시간적으로 주기적인 (periodic)특성을 내보이는 한 그들의 특성을 간단히 사인웨이브로서 설명하는 것이 가능하게 된다. 그리고 그 어떠한 복잡한 형태의 웨이브 구성 이라도 다양한 주파수들과  앰프리튜드 (amplitude) 그리고 다양한 시간 관계 (페이즈 :phase)를 내보이는 사인웨이브로부터 복잡한 웨이브 형태를 합성해 내는 것이 가능하다.

조셉 포리어 (Joseph Fourier)는 이러한 관계를 처음으로 증명한 사람이다. 그의 개념은 매우 간단하나 스피치와 음악적 사운드에 적용에는 종종 까다로운 것으로 되기도 한다.

<그림1-8>웨이브의 길이와 주파수는 서로 반비례 관계를 내보인다. 그림A는 주파수에 대한 웨이브 길이를 눈금 자로 나타낸 것이며 그림 B는 각기 다른 주파수와 웨이브 길이 관계를 그라프를 통해 나타낸 것이다. 이들 모두 소리의 속도 1,130ft/sec을 기준으로 한 것이다.

Harmonics

아래 그림 1-9 A는 주어진 주파수 ()에 대한 앰프리튜드 특성를 내보이는 사인 웨이브다. 그림 B 는 그림 A에 비하여 절반의 앰프리튜드 특성을 내보이나 두배의 주파수( )를 내보이고 있다. 그림 C는  과   를 합한 것으로부터의 결과로 나타나는 사인 웨이브이다. 그림 D는  보다 절반의 세기 (amplitude) 내보이며 주파수가 3배로 되는 사인 웨이브  이다. 그림 E는 사인 웨이브  과  그리고 를 모두 합하였을 때 나타나는 나타나는 사인 웨이브 이다.

사인웨이브 1-9 A는 다른 사인웨이브들이 더해 짐으로 계속하여 다른 웨이브 형태로 바뀌게 된다. 이러한 특성은 어쿠스틱 웨이브 또는 전기적 시그날에서도 동일하게 일어나거나 그 반대로 어쿠스틱 또는 전기적 필터를 사용하여   과  그리고 를 모두 합한 것으로부터 특정 웨이브 형태를 얻어내는 것 또한 가능하다.  예를 들자면, 1-9E와 같은 웨이브가 필터를 거치도록 하고 와 를 제외시키고  은  통과하도록 함으로서 1-9 A와 같은 웨이브를 얻어내는 것이 가능하게 된다.

<그림1-9> 사인 웨이브를 서로 합쳤을 때 어떠한 결과가 나타나는가를 나타내 보이는 것이다. (A)는 기본이 되는 주파수 (fundamental)가   된다. (B)는 두번째 하모닉스로  = 2x  로 된다. (C)는 과 를 합친 것이며 (D)는 3번째 하모닉스로  = 3 x  으로 되며 에 비하여 절반의 세기를 내보이는 것이다. (E)는  +   +  의 결과물이다.  이들 3가지의 사인웨이브들은 모두 동일한 페이즈 특성을 지니고있는 상태로 그들 모두가 동일한 지점 0 로부터 시작된 것이다.

그림과 같이  낮은 주파수를 내보이는  을 기본 주파수 (Fundamental)이라고 하고 그 사인웨이브에 대하여 두배의 주파수 특성을 내보이는  를 두번째 하모닉스 라고 하며  에 대하여 3배의 주파수 특성을 내보이는 를 세번째 하모닉스라고 하며 이와 같이 4번, 5번,6번 등 하모닉스들을 계속하여 만들 수 있게  된다.

Phase

위 그림의 , , 는 모두 동일한 지점인 0지점으로 부터 시작 하고있다. 이와 같이 웨이브들이 서로 동일한 시점에 발생되는 경우 우리는 그들이 서로 인-페이즈 (In-Phase : 서로 동일한 상태) 상태를 내보인다고 한다.  그러나 때로는 하모닉스와 기본 주파수가 이와 다른 시간적 관계를 내보이기도 한다.

하나의 완전한 사이클은 360 로 된다. 만일 동일한 주파수가 90 딜레이(delay) 되게 되면 이것은 첫번째 것에 비해 1/4의 웨이브 길이 차이로 늦게 발생하는 것으로 되며 첫번째 웨이브 보다 그라프 상에 우측으로 시간적 증가가 되는 것으로 나타나게 된다. 그럼으로 웨이브 길이 절반의 딜레이는 180의 차이가 되며 그와 같은 다양한 차이를 서로 내보이게 된다. 360 딜레이 차이의 경우 그들 두개 시그널의 피크들이 서로 일치되는 상태를 내보임으로 이들은 서로 인-페이즈 (in-phase)상태라 이야기 한다.

<그림1-10> 동일한 세기를 내보이는 웨이브들 간의 페이즈 관계를 나타내 보인 것이다. 360 는 하나의 완전한 사이클을 만드는 데 걸리는 시간이다.

만일 하모닉스가 기본주파수에 대하여 다른 시간적 특성을 내보이는 아웃 오브 페이즈 (out of phase) 상태인 경우는 어떠한 결과가 나타나게 되는가? 아래그림 1-11은 그와 같은 경우를 나타낸 것이다. 두번째 하모닉스 , 는 이제  에 비해 90 앞서 있고 3번째 하모닉스인 , 는 90 늦은 상태를 내보이고있다. 이들 , ,  를 모두 합쳤을 때 이들은 그림 1-11E와 같이 된다.

그림 1-9E와 1-11E의 차이는 , ,  사이에 페이즈 이동이 일어났다는 것 뿐이며 단지 그와 같은 페이즈 차이 만으로도 상당한 웨이브 변화를 결과로 내 보인다는 것이다. 특이한 것은 이들 간의 시간 관계 변화 만으로도 웨이브의 형태가 그와 같이 큰 변화를 내보임에도 불구하고 우리의 귀는 그 변화를 쉽게 감지하지 못한다는 것이다.  이것을 다르게 이야기 하면 우리의 귀는 그림 1-9E와 1-11E를 동일한 것으로 인식한다는 것이다.

<그림1-11> 서로 다른 페이즈 특성을 내보이는 사인 웨이브의 조합에 대한 것으로 (A)는 기본주파수 ,이며 (B)는 두번째 하모닉스로 절반의 세기와 에 대하여 90도 빠른 페이즈 특성을 내보이고 있으며 (C)는 , ,를 합친 것이며 (D)는 3번째 하모닉스로 에 대하여 절반의 세기와  90도 느린 페이즈 특성을 내보이고 있으며 (E)는 , ,  를 모두 합한 것이다.

Partials

음악가들은 하모닉스라는 용어 보다는 부분 음 (Partials) 이라는 용어를 사용하는 경향을 내보인다. 그러나 대부분의 악기의 부분 음이 기본음 (Fundamental)에 대하여 하모닉스적인 관계를 내보이지 않음으로 이들 두가지 용어는 서로 구분하여 사용하는 것이 최선으로 된다.  이것은 즉, 이들 부분 음이 기본 음으로부터 정확한 배음 관계를 내보이지 않는 다는 것이다. 그리고 이러한 특성으로 인하여 톤의 풍부함과 질적인 특성이 하모닉스 관계와 달리 여전히 비밀 스럽게 되는 것이다. 예를 들자면, 벨과 차임(chime) 그리고 피아노 톤의 부분 음은 종종 기본음과 하모닉스 관계를 내보이지 않고있다.

Octaves

오디오 엔지니어와 어쿠스틱 전문가는 종종 하모닉스에 대한 중적분 적인(integral multiple), (또는 배수) 개념을 사용하여  물리적 측면에서 소리를 다루는 반면 음악가들은 옥타브를 사용하고 대수 (logarithmic)개념이 확고하게 스케일과 사용하는 용어에 적용되어 있는데 그 이유는 이들의 관계가 귀의 특성에 맞기 때문이다. 오디오 엔지니어 또한 인간의 청각적 특성과 관계하고 있으며 그러한 이유에 로그 스케일을 주파수에 사용하고  로그를 토대로 한 측정 단위를 사용하며 사용하는 다양한 장치들이 옥타브를 기초로 하고있는 것이다.

하모닉스와 옥타브를  비교한 것이 아래 그림 1-12를 통해 나타나있다. 하모닉스는 선형적인 (linearly) 관계를 내보이는 것으로 다음에 전해지는 하모닉스는 앞선 것의 배수로 된다. 옥타브 란 두개 주파수의 2:1 비율에 해당 하는 것으로 예를 들면, 가온 “도” 음인 C4는 주파수 261Hz인데 옥타브관계인  C5는 522Hz 주파수로 나타난다. 이와 같은 주파수의 비율은 음악에서의 음계와 상당한 관계를 내보이는 것으로 주파수의 2:1 비율은 옥타브 관계가 되고  3:2비율은 5번째 4:3은 4번째 음으로 되는것과 같이 밀접한 관계를 내보인다.

100Hz와 200Hz의 간격(interval)은 옥타브 관계이며 200Hz와 400Hz 또한 옥타브 관계로 된다. 그러나 100Hz에서 200Hz사이의 간격은 200Hz에서 300Hz 간격보다 우리의 귀에 보다 넓은 간격을 지니는 것으로 느껴지는데 그 이유는 우리의 귀가 그들 간격의 차이를 수학적인 면 보다 비율적 차이를 통해 인식 하기 때문이다. 특히 우리의 귀의 주파수에 대한 지각은  대수 (logarithmic) 개념에 의존하고 있다.  어쿠스틱 작업에 있어 옥타브는 중요한 것이고 수학적으로 도 유용한 것으로 된다.

<그림1-12> 옥타브와 하모닉스를 비교한 것 하모닉스는 배수(linearly) 특성을 지니고 옥타브는 로그 (logarithmically)특성을 지닌다.

2:1 비율은 옥타브로 간주하고있으며 그것을 수학적으로는 다음과 같이 나타내고 있다

=

는 위 편 주파수의 옥타브 간격 (Hz)
은 아래 편 주파수의 옥타브 간격(Hz)
n은 옥타브의 개수

1옥타브의 경우 위의 공식에서 n = 1이 됨으로  공식은   /  = 2 로 한 옥타브를 정의 하게 된다.

예제-1

저 주파수 밴드 한계가  20Hz 일 때 이것으로부터 10옥타브 넓이를 내보이는 고 주파수의 한계치를 구하라.

=

= (20)()
= (20)(
= 20,480 Hz

예제-2

1/3옥타브 밴드에서 최저 주파수가 446Hz 1/3옥타브 밴드의 최고 주파수는 무엇인가?

= ()

= (446)()
= (446)(1.2599)
= 561.9Hz

예제-3

1/3옥타브 밴드의 센터 주파수가 1,000Hz일 때 1/3 옥타브 밴드의 최저 지점 주파수는 어떻게 되는가. ( 은 1,000Hz로 된다. 그러나 이들로부터 의 최저 지점 주파수는 1/3옥타브 보다 1/6 낮은 것으로 되어야 함으로 n = 1/6 로 되어야 한다.)

= ()
=
=
= 890.9Hz

예제-4

2,500Hz가 센터주파수로 되어있는 옥타브 밴드에서 최저 지점 주파수는?

=
=
=
= 1,767.8Hz

그에 대한 최고 주파수는?

= ()
= (2,500)()
= (2,500)(1.4142)
= 3,535.5Hz

많은 어쿠스틱 적용에 있어 소리는 63 , 125, 250, 500, 1000, 2000, 4000, 8000 주파수와 같이 8개 옥타브 밴드로 다루어지거나 1/3옥타브로서 다음과 같은 센터주파수 (31.5, 50, 63,80,100,125,160,200,250,315,400,500,600,800,1000,1250,1600,2000,2500,3150,4000,5000,6300,8000,10000Hz) 를 사용하고있다.

SPECTRUM

일반적으로 우리가 이야기하는 가청 가능한 주파수 대역은 20Hz에서 20,000Hz 까지 로 되며 이 범위는 우리의 청각 기능이 내보이는 특별한 특징이 된다. 우리는 사인웨이브와 하모닉스 관계를 통하여 우리가 필요로 하는 스펙트럼에 대한 개념을 성립 하게 된다. 빛의 스펙트럼에 대한 시각화는 가청 가능한 스펙트럼내의 소리와 대응하는 관계를 내보인다. 우리는 울트라 바이올렛 (Ultra Violet) 광선을 넘어 의 빛을 볼 수 없는데 그 이유는 빛의 전자기 에너지가 매우 높아 시각적으로 그 빛을 인식 할 수 없기 때문이다. 그뿐만이 아닌 인프라레드 (Infrared)넘어 자리하는 빛 또한 인식 할 수 없게 되는데 그들이 매우 낮은 주파수를 지니기 때문이다. 그와 마찬가지로 우리의 청각 기능 또한 매우 낮은 주파수 특성의 사운드 (Infra Sound)와 매우 높은 주파수 특성의 울트라 사운드 (Ultra sound)에 대해서는 인식을 하지 못하게 된다.

아래 그림에 나타나있는 몇개의 웨이브들은 오디오에서 자주 볼 수 있는 전형적인 무한 수의 각기 다른 웨이브형태를 내보이는 전형적인 웨이브 형태를 나타낸 것이다.  이들 웨이브들은 오실로스코프의 화면을 캡쳐 한 것으로 우측은 캡쳐 한 것들이 내보이는 시그널 스팩트럼이다. 우측의 스팩트럼은 시그널 에너지들이 주파수에 어떻게 분포 되어 있는가를 이야기 하는 것이다.

아래그림 1-13D는 가청 범위의 스팩트럼으로 5Hz 폭의 파스밴드와 (passbamd)와 매우 샤프한 필터를 지니는 웨이브 형태 분석 장치를 (wave form analyzer) 통한 것이다. 사인 웨이브의 경우 모든 에너지가 하나의 주파수에 집중되어 있는 것이다. 사인웨이브는 특별한 시그날 제네레이터 (signal generator) 에 의하여 발생된 것이나 완벽한 퓨어(pure) 사인 웨이브  상태는 아니다. 그 어떠한 오실레이터 또한 완벽하지 않으며 그들 모두 하모닉 요소들을 지니고있다. 그러나 이 사인 웨이브에 대한 스캐닝에서는 측정된 하모닉스가 그라프에 나타내 보이기 어려울 정도로 낮게 나타나고 있다.

<그림1-13> 기본적인 웨이브와 노이즈를 비교한 것으로 (A)는 하나의 주파수의 사인 웨이브이며  (B)는 삼각형 웨이브 (C)는 기본 주파수의 배음에 여러 개의 하모닉스를 지니도록 하는 것이며 (D)는 랜덤 노이즈 이다.

시그널 제네레이터로 부터의 삼각형 웨이브는 (Triangular waveform) 기본음 (Fundamental)이 10유닛을 내보이고 있으며 두번째 하모닉스 f2는 단지 0.21 유닛 만을 내보이고 있다. 3번째 하모닉스는 1.13유닛의 앰프리튜드 특성을 내보이고 있으며 4번째는  0.13유닛을 내보인다. 나아가 이들의 7번째 하모닉스는  0.19유닛을 내보이고 14번째 하모닉스(15KHz)는 0.03유닛을 내보이고 있으며 이들 특성은 여전히 쉽게 파악 되는 것으로 나타나고 있다. 삼각형 형태의 웨이브는 보통의 세기에서 전체 오디오 스펙트럼을 통해 홀수와 짝수 요소들을  지니고 있는 것을 볼 수 있다.

만일 우리가 이들 각각에 대한 앰프리튜드와 페이즈 특성에 대한 파악이 가능하다면 그들 각각의 웨이브를 합하여 삼각형 웨이브의 (Triangular waveform)  본래의 형태를 합성해내는 것이 가능하게 된다.

이에 비교될만한 스퀘어 웨이브에 (Square waveform)대한 분석이 그림C에 나타나 있다. 이들은 삼각형 웨이브에 비하여 보다 높은 앰프리튜드 특성을 내보이며 그들 구분이 짝수보다는 홀수 하모닉스 에서 뚜렿이 나타나는 것을 볼 수 있다.  스퀘어 웨이브에서 3번째 하모닉스는 기본음에 대하여 34%의 앰프리튜드 특성을 내보이고있으며 15번째 하모닉스는 0.52유닛을 내보이고 있다.  아래의 그림 1-14A는 스퀘어 웨이브를 나타낸 것으로 이들 또한 기본음에 하모닉스를 더하는 방식으로 합성해 내는 것이 가능하다. 그러나 이들을 합성해 내기 위해서는 보다 많은 하모닉스 들이 기본 주파수에 더해져야 한다.

<그림1-14> 스퀘어 웨이브는 사인웨이브의 기본 주파수에 하모닉스를 더하여 만들 수 있다. (A)는 스퀘어 웨이브 (B)기본 주파수에 두개의 nonezero 하모닉스를 더한 것 (C)기본주파수에 9개의 none zero 하모닉스를 더한 것

예를 들자면, 그림B는 두개의 none zero (0가 아닌) 하모닉 요소를 더한 결과이며 그림C는 9개의 none zero 하모닉 요소들을 더한 결과이다.  이것을 통해 우리가 알수 있는 것은 주파수 밴드가 제한 되어있는 스퀘어 웨이브(square wave)가 실제로는 스퀘어 형태의 모습을 지니지 않고 있는지를 설명하는 것이다.

사인 웨이브, 삼각 웨이브 스퀘어 웨이브의 스펙트라는 그들 각각의 하모닉스에 어떠한 에너지가 집중 되어있는가를 나타내 볼 수는 있으나 그들 사이에 대한 것은 전혀 내보이지 못하는 것으로 된다. 이들은 모두 시간적으로 반복 특성을 (periodic) 내보이는 웨이브로 그들 자체가 한 사이클 뒤에 또 다른 사이클을 내보이는 것과 같이 계속 반복된 특성을 내보이게 된다.
4번째 예제인 그림1-13D는 랜덤 노이즈이다. 이 시그널에 대한 스펙트럼을 5hz밴드 패스를 사용한 측정은 만족스러운 측정 결과를 내보이기 어렵게 된다.  그 주된 이유는 그들 변화폭이 상당하여 그것을 정확히 읽어내는 것이 거의 불가능 하기 때문이다. 보다 넓은 고정된 파스 밴드 (pass band)와 관련된 다양한 장치를 사용하여 스펙트럼 형태를 얻어내는 것이 가능하게 된다.

이들 스펙트럼이 우리에게 이야기 하는 것은 것은 랜덤 노이즈 시그널의 에너지가 전체 스팩트럼 상에 고르게 분포되 있다는 것이다. 그림에 나타나는 랜덤 노이즈의 위편 대역에 롤-오프는 랜덤 노이즈 시그널 발생기가 그 위편 주파수 한계점에 도달해 있는 상태를 가리키는 것이다.

오실로스코프를 통해 랜덤노이즈와 사인 웨이브를 비교 관찰해 보면 그들 사이에는 공통된 점이 없음을 알 수 있으나 사실 그들 사이에는 숨겨진 관계성이 있다.

랜덤 노이즈가 주파수, 앰프리튜드, 페이즈 에 대한 계속적으로 이동되는 사인 웨이브 요소로서 구성이 되어있다 할지라도 이들을 매우 세밀한 필터를 통해 통과시키고 그것을 오실로스코프로 관찰하면  이들이 가만히 있지 못하는 사인 웨이브 같은 형태의 것이 앰프리튜드 상의 계속적으로 움직임을 내보이는 것을 볼 수 있게 된다. 그럼으로 이론적으로 이들 랜덤 노이즈로부터 순수한 사인 웨이브 형태를 얻어내는 것이 가능하게 된다.

Electrical, Mechanical and Acoustical Analogs

어쿠스틱적인 시스템인 스피커의 경우 전기적 또는 기계적 시스템으로 그들의 의미를 대신 할 수 있으며  엔지니어는 이러한 특성을 주어진 시스템에 대한 분석을 위하여 수학적 방식으로 접근 하는 것이 가능하게 된다.  예를 들자면, 라우드 스피커의 캐비넷 의 기능적 효과는 밀폐된 공간에 자리하는  공기와 같이 또는 전자회로에서의 카파시터와 같은 역할은 한다고 생각할 수 있다.

아래그림은 전기, 기계, 어쿠스틱 시스템의 가장 기본이 되는 3가지 요소들을 그래픽으로 나타낸 것이다. 전기 시스템에서 인덕탄스 (Inductance)는 기계 시스템에서의 질량과 같고 어쿠스틱 에서의 관성(inertance) 작용 과 같다. 전기 회로에서 카파시탄스(capacitance)는 기계 시스템에서의 변형력비 (compliance)와 같으며 어쿠스틱 시스템에서의 카파시탄스(capacitance)와 같게 된다. 레지스탄스는 (resistance)는 이들 3가지 모두 동일하게 저항 역할을 하는 것으로 유리 섬유 내에서 공기 입자들의 움직임 (운동)에 의한 마찰력으로 부터 나타나는 에너지 손실, 마차 바퀴의 마찰력에 의한 에너지 손실 그리고 전기 회로에서 커렌트(current)의 흐름과 같은 것이다.